Viva l'isocronismo del pendolo!

Il parco giochi é sempre fonte di grande ispirazione.

In attesa di realizzare un video mentre sperimento le forze di coriolis sulla “giostrina che gira” (e prima o poi lo farò) mi sono trovato recentemente a sfruttare un po' di fisica classica per semplificarmi la vita sul gestire due bambini su altrettante altalene e a immortalare in tutto. Chi non si é mai trovato davanti al problema di dover accontentare due bimbi che contemporaneamente chiedono di essere spinti sull’altalena? Mantenendo il giusto ottimismo sul fatto che prima o poi impareranno a spingersi da soli, ecco qui qualche consiglio per la sopravvivenza al parco giochi!

La fisica che ci viene in aiuto in queste situazioni è abbastanza semplice ma se si vuole approfondire si possono fare ragionamenti interessanti. Se non ti interessa scorri pure più giù fino al video, altrimenti (e spero valga per tutti!) mettiti comodo/a e guarda cosa sto per raccontarti.

Per prima cosa, anche se forse uno non ci ha mai fatto caso, un’altalena non é altro che un pendolo. Questo significa che non ci sono grandi differenze concettuali tra questo gioco, Indiana Jones che si appende alla sua frusta, quelle grosse macchine che usano una pesante palla per demolire edifici e altro. In tutti questi casi infatti c’é sempre un oggetto appeso a un filo che oscilla avanti e indietro.

Un pendolo sempllice. Fonte: Lab2go

Sul comportamento del pendolo semplice sappiamo praticamente tutto e in particolare, sappiamo che il suo Periodo, cioè il tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa (andata e ritorno), si può calcolare con una formuletta semplice semplice:

In questa formula T è il periodo misurato in secondi, l la lunghezza del pendolo (dal perno fino al baricentro della massa appesa) e g l'accelerazione di gravità. In caso ci fosse bisogno di specificarlo,  è il pi greco.

Per esempio allora, quanto vale il periodo di un pendolo lungo 1 metro? Facile, 2 secondi! E se il pendolo fosse lungo 2 metri? Semplice, 2,84 secondi!

Ma... un momento! Significa che la massa appesa al filo non è importante? Che a parità di lunghezza totale un elefante e un topolino oscillerebbero con lo stesso periodo?

Esattamente. Teniamolo a mente per dopo perchè questo aspetto sarà molto utile al parco giochi.

Un osservatore attento avrà forse notato che in quella formuletta semplice semplice manca anche un'altra cosa che intuitivamente dovrebbe influenzare la durata dell'oscillazione. Sto parlando dell'angolo tra il filo e la verticale: possibile che il periodo non dipenda da quanto ampiamente il pendolo oscilli?!?

Quasi esattamente.

In effetti in questo caso la formuletta semplice semplice è un'approssimazione ma come vedremo ora, si tratta di un'ottima approssimazione.

A voler essere precisi infatti la formula giusta per il periodo del pendolo è più lunga... molto più lunga... addirittura infinita! 

Fonte: matematicamente.it

Ma se la formula è così complicata, perchè tutti imparano la versione semplice come se fosse quella giusta? La risposta sta nel fatto che tutti i termini che compaiono dopo quel "1+" nella parentesi quadra sono via via sempre più piccoli e e anche il primo, quello con (1/2) al quadrato, è davvero insignificante quando l'angolo (indicato con θ) è sufficientemente piccolo. Volendo fare qualche conticino, limitandoci al secondo termine della serie, potremmo riconsiderare il pendolo lungo 2 metri e notare che:

con un angolo di 5° il periodo è di 2,84 s

con un angolo di 10° il periodo è di 2,85 s

con un angolo di 20° il periodo è di 2,88 s

con un angolo di 30° il periodo è di 2,93 s

con un angolo di 45° il periodo è di 3,01 s

Ecco allora che la differenza di periodo tra un angolo di 5 gradi e uno di 10 gradi è circa dello 0,3%, tra 5 e 20 gradi è circa del 1,4%  e così via. Questo significa che anche se i periodi non sono proprio uguali, è corretto affermare che per piccole oscillazioni il pendolo ha un periodo costante. Se poi il sistema che stiamo studiando non necessita di grande precisione (e un'altalena in un parco giochi rientra in questa categoria) allora siamo liberi di fare finta che il periodo sia effettivamente indipendente dall'angolo di oscillazione e di utilizzare senza remore la formuletta semplice semplice.

Questo bellissimo comportamento si chiama isocronismo del pendolo.

Storicamente, il primo ad averlo notato è stato Galileo: si dice che se ne sia accorto osservando un lampadario mentre sia annoiava durante una funzione religiosa... 

Finalmente torniamo al parco giochi di cui parlavo all'inizio!

Visto che l'altalena è di fatto un pendolo, visto che il suo periodo di oscillazione non dipende dalla massa appesa e visto che il periodo, in buona approssimazione, non dipende dall'angolo di oscillazione, posso fare in modo che spingere contemporaneamente due bambini su due altalene non sia un problema!

Basta farli partire con uno sfasamento di mezzo periodo e il gioco è fatto! Ogni spinta servirà a compensare le forze di attrito e con un po' di attenzione si riuscirà a manetere regolare il movimento.

Una volta capito il meccanismo ci si può sbizzarrire: io ad esempio ho provato a spingere le altalene di spalle oppure spingerne una con le mani e l'altra coi piedi, perchè no?

 

Ormai uso questo trucchetto ogni volta che mi capita e spesso noto che qualche altro genitore guarda incuriosito. Devo ancora capire se quello sguardo significa "geniale!" o più probabilmente "questo è pazzo..." ma in fondo la differenza non è molta.

Ripartire

E' passato poco più di un anno dall'ultimo post su SalveProf!...
Non ho deciso di abbandonare questo blog ma ho dato priorità ad altro e inevitabilmente qui ha iniziato ad accumularsi polvere.
Nel frattempo sono cambiate un po' di cose, ad esempio ho cambiato ancora scuola, sono diventato un docente di ruolo nella scuola statale e ho preso un'altra abilitazione (stavolta per insegnare con la modalità clil in inglese). Tutto questo però non cambia il fatto che ho ancora voglia di scrivere su qui, anzi...
Finalmente oggi ho messo giù un articoletto che avevo in mente fin da quest'estate. Lo pubblico a breve e spero davvero che sia il primo di una nuova lunga serie!

Rosetta e Philae: è stato un piacere!

Il 12 novembre 2014 sono successe (tra miliardi di altre) due cose che vale la pena ricordare. La prima è davvero importante, la seconda al contrario piuttosto insignificante.

La prima, come avrete capito dal titolo di questo post riguarda la missione Rosetta: il 12 novembre infatti è avvenuto l'atterraggio del lander Philae sulla cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko, un evento senza precedenti che meritatamente ha raggiunto anche l'interesse del grande pubblico. La seconda, come sicuramente nessuno ricorda, è che proprio in ocasione di questo evento ho scritto il primo vero post di questo blog! L'idea di scrivere online ce l'avevo già da un po' ma è proprio grazie all'impresa dell'ESA che è cominciata questa avventura. Più avanti poi c'è stata anche un'altra occasione per parlarne. Visto allora che ho questa sorta di debito nei confronti di Rosetta il minimo che possa fare è dedicarle un altro post in occasione della sua scomparsa.

Già perchè come probabilmente già sapete poco meno di un mese fa abbiamo dovuto dire addio alla sonda più famosa degli ultimi anni... Adesso, con ordine, spiego tutto.

Come ho già scritto a suo tempo la sorte del lander Philae non è stata delle migliori. Dopo il tanto celebrato touch-down è rimbalzato in modo imprevedibile ed è finito lontano dal punto previsto e in una posizione sconosciuta. Ha continuato a funzionare per un tempo ridotto durante il quale è riuscito a inviare a Rosetta i dati che aveva raccolto fino a quel momento e poi si è spento. Dalla durata delle batterie si è dedotto che fosse finito in un cratere o comunque in una zona d'ombra che ha reso del tutto inutili i suoi pannelli solari. Certamente nella sfortuna è stato fortunato perchè sarebbe potuto finire alla deriva nello spazio o avrebbe potuto distruggersi nella caduta ma di fatto è riuscito a completare solo in minima parte la missione per cui era stato progettato.

L'Esa in quel frangente ha fatto un largo uso dei social network tanto che è stato creato un profilo Twitter sia per Rosetta che per Philae e questi sono i suoi ultimi messaggi:

Durante l'estate successiva la cometa avrebbe raggiunto il perielio e si sperava che in quel periodo la maggior vicinanza al sole avrebbe permesso a Philae di ricaricare un po' le batterie e risvegliarsi. In effetti a fine primavera c'è stato un brevissimo risveglio e i due veicoli sono riusciti a comunicare sporadicamente fino al 9 luglio 2015, data a partire alla quale Philae si è chiuso in un silenzio totale. 

Nel frattempo però Rosetta ha continuato la sua missione raccogliendo dati importanti e permettendo agli astrofisici di migliorare ed aggiornare i modelli in loro possesso sulle comete e di conseguenza sulle origini del sistema solare.
Dopo poco più di un anno dall'ultimo segnale ricevuto da Philae, il 27 luglio 2016, l'Esa ha deciso di spegnere il dispositivo per permetteva a Rosetta di comunicare col lander. La scelta non è stata dettata dal dispiacere per la perdita del robottino ma da un molto più banale calcolo energetico: visto che la cometa si sta allontanando sempre di più dal Sole l'energia dei pannelli fotovoltaici si riduce in continuazione e si è deciso che tenere acceso quel dispositivo sarebbe stato in effetti uno spreco di risorse e quindi... switch off!

I responsabili della missione hanno valutato cosa fosse meglio fare con la sonda in questa lunga fase di allontanamento dal Sole e si sono resi conto che presto non sarebbe più stato possibile proseguire con le ricerche. Questo perchè come già detto il continuo allontanamento dal Sole produce una continua riduzione di energia disponibile e pertanto Rosetta non avrebbe potuto continuare la sua missione oltre l'orbita di Giove. Piuttosto che optare per una ibernazione con un improbabile risveglio al prossimo perielio si è scelto un gran finale con un ultimo viaggio di sola andata sulla superficie della cometa. 
Ed ecco che come accade nelle storie più entusiasmanti, poco prima della fine arriva il colpo di scena! Siamo al 5 settembre 2016 quando finalmente la fotocamera di Rosetta invia a Terra queste foto:

Fonte: Esa

Finalmente sappiamo dove e come è atterrato Philae e capiamo perchè ha smesso di funzionare: all'ombra e in quella posizione non potevamo aspettarci di più da lui!
Dopo aver ritrovato il suo compagno di  viaggio Rosetta può concludere la sua missione in pace e così, il 30 settembre, inizia la sua ultima discesa verso la cometa. L'obiettivo è quello di eseguire qualche ultima analisi il più vicino possibile alla superficie, inviare a Terra i dati e infine atterrare. In realtà, non essendo un lander è un po' dura chiamarlo atterraggio... 
L'Esa, per concludere questa esperienza come era iniziata ha rilasciato un atro bellissimo cartone animato che riassume i punti salienti della missione e racconta la sua conclusione aggiungendo un finale a sorpresa.

Un riassunto delle scoperte di Rosetta (in italiano)

Il gran finale! (in inglese)

Un aspetto divertente è che pochi giorni dopo, il 5 ottobre, ho avuto l'occasione di avere un incontro ravvicinato con il piccolo Philae! Ho infatti accompagnato alcune classi a Bergamo in occasione della manifestazione Bergamoscienza (se non ci siete mai stati fateci un pensierino!) e guardacaso una delle nostre mete è stato un laboratorio organizzato dall'Itis Paleocapa: qui era esposto un modello in scala 1:1 del famoso lander realizzato dagli studenti della scuola che, dopo una breve introduzione, hanno spiegato molto bene il funzionamento di alcuni degli strumenti a bordo. E io naturalmente non ho perso l'occasione di farmici fotgrafare insieme!

Estate: BBQ, birra e giochi d'acqua

L'estate, quella vera, é decisamente iniziata.

Sono arrivati il Sole, il caldo e le lamentele di chi non sopporta questa stagione. Io invece l'estate l'apprezzo parecchio, un po' perché sono in vacanza ma soprattutto per tutte quelle cose che è bello fare specialmente quando fa caldo: passeggiare in montagna, pic-nic, fare grigliate in compagnia, far giocare i bambini con l'acqua ecc... Ok, per essere onesti l'ultima frase andrebbe sostituita con usare i bambini come pretesto per poter giocare con l'acqua  ma in fondo il concetto non è molto diverso. Cosa c'entra però tutto questo con SalveProf!? Bé diciamo che in alcune delle situazioni sopracitate mi sono ritrovato a pensare che tutto sommato saperne un po' di Fisica può semplificare la vita e quindi eccomi qui (dopo una lunga assenza, lo so...) a raccontare come un prof può farsi riconoscere anche durante la bella stagione. Parlerò di grigliate, di acqua e di birra fredda. Perché divertirsi d'estate è bello ma divertirsi sapendo anche perché accadono le cose lo è molto di più!

Grigliate e termologia

Avete mai provato ad accendere il fuoco per una grigliata con gli amici? Spero proprio di si! Chi ci sa fare e ha un po' di pazienza può usare la legna ma per la gente comune come me meglio comprare la carbonella. Quando si comincia a preparare il barbecue bisogna far bruciare il carbone ma quando poi si inizia a cuocere non ci devono essere fiamme, questo perché le fiamme farebbero bruciare alcune parti della carne più di altre mentre un letto di carboni ardenti permette di cuocere in modo omogeneo. Lo scopo della prima parte allora è quello di scaldare la carbonella il più possibile in modo che possa andare avanti a cuocere a lungo. Ed ecco che arriva la Fisica! In questa fase vogliamo che il nostro combustibile assorba il calore disperdendone il meno possibile e per questo conviene sistemarlo in modo che la superficie a contatto con l'aria sia la minore possibile. Sappiamo che il solido con minor superficie a parità di volume è la sfera pertanto dobbiamo cercare di far bruciare la carbonella tenendola il più compatta possibile (a forma di sfera  impossibile ma formare una montagnetta è già una  buona idea). Facendo così avremo un centro incandescente che, bruciando, accende e scalda tutto il blocco minimizzando le perdite di calore. Certamente per tenere acceso il fuoco centrale bisognerà soffiare parecchio ma d'altronde senza fatica non si ottiene nulla.

Quando invece arriva il momento di cuocere l'obiettivo si inverte: adesso vogliamo che la carbonella ceda più calore possibile alla griglia o alla piastra e per farlo dobbiamo aumentare la superficie. Si apre allora la montagnetta che avevamo formato distribuendo la carbonella rovente in modo che scaldi tutta la griglia. In questa nuova distribuzione estesa la dispersione del calore è massima. Un semplice concetto di termologia che può essere di grande aiuto!

Giochi d'acqua e irraggiamento solare

Se si ha la fortuna di avere un giardino è quasi ovvio che appena possibile ci si diverta con una piscinetta gonfiabile o con altri giochi d'acqua, specialmente se ci sono dei bambini. Uno degli inconvenienti però è che per quanto faccia caldo l'acqua che esce dal rubinetto è fastidiosamente fredda. Certo riempiendo la piscinetta molto prima del suo utilizzo e lasciandola al Sole la situazione migliora ma può sempre servire dell'acqua nuova anche solo per sciacquare il bimbo che si è appena rotolato nell'erba prima che si ributti in piscina, giusto in tempo per evitare che la trasformi in una palude (alla fine ci riuscirà comunque ma vale la pena tentare). Anche qui la termologia ci aiuta ed ecco come: basta usare la canna dell'acqua come se fosse un pannello solare! 

Ecco un piccolo impianto di riscaldamento solare fai da te!

In pratica si stende la canna in modo che sia al Sole e la si lascia piena d'acqua (quindi col rubinetto aperto e un tappo in fondo) per un po' di tempo. Il Sole farà il suo lavoro e l'acqua può diventare anche troppo calda! Per raggiungere una temperatura che non faccia urlare quando si viene bagnati serve meno tempo di quanto sembri, provare per credere! Ovviamente allora più la canna è lunga meglio è e lo stesso vale per la sua sezione: se contiene più acqua ne avremo di più a disposizione. C'è però un particolare a cui è meglio stare attenti e al quale in effetti non avevo fatto caso quando ho comprato la canna... Il colore! Dalla foto si vede che i tubi sono due, uno verde e uno giallo e alla prova dei fatti il tubo giallo è molto meno efficiente dal punto di vista del riscaldamento...

Più o meno tutti sanno che il colore della maglietta che si indossa incide sulla percezione del calore in estate: una maglietta chiara (meglio se bianca) sarà molto più fresca di una nera. Questo perché gli oggetti bianchi, proprio per poter essere visti come bianchi, riflettono buona parte della luce che ricevono e quindi ne assorbono poca con la conseguenza di riscaldarsi poco. Al contrario un oggetto nero assorbirà più luce di quanta ne rifletta e quindi si scalderà molto. Ecco allora che una canna gialla assorbirà meno radiazione luminosa di una verde scaldando quindi di meno l'acqua al suo interno.

Devo dire però che non mi è andata così male, alla fine i due tratti diversi si compensano un po' a vicenda e il risultato è accettabile.

Birra e conducibilità termica
Un altro must dell'estate è sicuramente la birra fresca. Ma cosa succede se per caso ci si è dimenticati di metterla in frigorifero? La soluzione più frequente è metterne un paio in freezer ma ci vuole del tempo perché diventi fredda e questo genera di solito due tipi di effetti collaterali: o la si tira fuori troppo presto ed è ancora calda oppure la si dimentica lì finché non congela con conseguente rottura della bottiglia... Ci vorrebbe un modo per accelerare lo scambio termico tra freezer e birra e in effetti un modo c'é! Il problema è che l'aria del freezer, per quanto fredda, ha una bassa conducibilità termica, per questo ci mette così tanto a raffreddare la nostra 33 o 66 cl. Un'ottima idea è allora quella di prendere un panno, bagnarlo per bene sotto il lavandino, avvolgerci la bottiglia e mettere tutto in freezer: l'acqua nel panno essendo poca e con poco spessore gela molto in fretta e, cosa più importante, ha una conducibilità termica più alta dell'aria pertanto accelera il raffreddamento della birra! 
Per dare un'idea un po' più quantitativa, ecco la formula che descrive il passaggio di calore per conduzione (o contatto):

Fonte: Wikipedia

La Q con il puntino rappresenta il calore trasferito per unità di tempo, la ΔT indica la differenza di temperatura tra la birra e il freezer, S e L riguardano le dimensioni della bottiglia mentre λ è il coefficiente di conducibilità termica. Lasciamo perdere il resto e guardiamo solo questa λ (anche perchè è l'unica parte su cui possiamo intervenire). Per l'aria vale circa 0,026 (W m)/K mentre per l'acqua siamo sui 0,6 (W m)/K. Un rapido conticino e si scopre che l'acqua può raffreddare la nostra birra circa 23 volte più in fretta! I valori non sono esattissimi perchè si riferiscono all'aria e all'acqua a una temperatura di 20 °C ma vanno benissimo per rendere l'idea.
Non so voi ma da quando l'ho scoperto io faccio sempre così.
Se invece proprio non si vuole mettere un panno bagnato in freezer si può migliorare la situazione anche solo mettendo la bottiglia a contatto con qualcosa di già freddo come una busta di surgelati o le mattonelle per le borse termiche; non è la stessa cosa ma aiuta!

Ci sono senza dubbio molte altre cose che varrebbe la pena guardare con l'occhio del fisico ma per ora mi fermo qui. 

Buone vacanze a tutti!  

L'importanza di divertirsi

Lo scorso venerdì sera sono andato a sentire una conferenza in una scuola in cui ho insegnato anni fa. Non capita spesso: le conferenze scientifiche non sono poi così frequenti e quando ci sono non sempre la gestione familiare mi permette di dedicare un'intera serata a una passione. Questa volta però l'occasione era doppiamente irrinunciabile: in un colpo solo avrei rivisto amici ed ex-colleghi e avrei sentito parlare un relatore importante come Marco Delmastro! Se non sapete chi sia vi consiglio di guadare il suo bellissimo blog Borborigmi di un fisico renitente in cui, tra le altre cose, racconta del suo lavoro di fisico delle particelle al Cern facendo dell'ottima divulgazione. Ha anche scritto un libro: Particelle familiari davvero molto interessante.

Oltre a tutto questo c'è da dire che quasi in contemporanea ai miei ex colleghi (ma in modo indipendente) anche io l'avevo contattato per invitarlo a parlare nella mia scuola ma poi per questioni logistiche non eravamo riusciti a organizzare... Insomma non potevo proprio mancare!
La serata era incentrata sullo spiegare al grande pubblico cosa sia la fisica delle particelle e come la si studia o in altre parole cos'è il modello standard e perchè c'è bisogno di macchine giganti come quelle del Cern per poter fare ricerca. Nonostante l'argomento fosse complicato la conferenza era accessibile a chiunque e la cosa non mi ha certo stupito visto che già conoscevo il personaggio. Per fare un esempio una delle sue peculiarità è sfruttare i mattoncini del Lego per mostrare come sono composti gli atomi e le particelle subatomiche. Questo comporta che ad ogni conferenza lui si porti dietro il suo kit di mattoncini e si diverta in diretta a costruire protoni, neutroni e compagnia bella.

Il Modello Standard di Lego - www.borborigmi.org

Se vi interessa la conferenza è stata registrata ed è visibile a questo link youtube.
Al termine non ho perso l'occasione di farmi autografare il suo libro!

Grazie Marco, ci conto!

Partecipare a serate come questa mi piace molto anche se in realtà dovrei già sapere buona parte di ciò di cui si parlerà (almeno in teoria...) e i motivi sono vari. Prima di tutto, banalmente, perchè mi interessa, poi perchè magari posso trovare qualche spunto da usare in classe. Mentre ascoltavo mi sono ritrovato a pensare a questa cosa: si capiva benissimo che a Delmastro piace fare quello che fa, quella sera lui si è divertito sicuramente quanto me e probabilmente di più e se così non fosse non sarebbe tanto bravo. Saprebbe le stesse cose ma apparirebbe come una figura molto meno interessante.

E io su questa cosa del divertirsi mi riconosco molto!
Certo non ho mai usato il Lego per spiegare qualcosa ma mi piace un sacco cercare giochini o altre cose apparentemente estranee alla scuola da usare in classe e riproporre anno dopo anno. Recentemente per esempio ho portato a scuola il mio fido (e ormai un po' scassato...) giroscopio per concludere il capitolo sul momento angolare. Per capirci è proprio quell'oggettino che tengo in mano nell'attuale foto che uso per il profilo sia su Google che su Facebook. Purtroppo non funziona più come una volta e proprio per questo mi è pure cascato a terra rovinandosi ancora di più... Ok è tempo di comprarne un altro ma intanto è comunque riuscito a fare il suo dovere suscitando stupore e divertimento! Per altre occasioni ho altre cose (specchietti parabolici per ottenere ologrammi, dadi di varie forme, spezzoni di film o cartoni animati, ecc...) e se le uso coi ragazzi è sempre perchè prima di tutto quello che si diverte sono io! Perchè se non mi diverto io come posso sperare che loro trovino piacevole e interessante ciò che gli faccio fare?
Tutte queste cose non sostituiscono certo gli esperimenti in laboratorio che quando sono possibili sono preziosissimi, semplicemente si tratta di esperienze qualitative che hanno solo lo scopo di divertire e accendere la curiosità.
Ovviamente non si può sempre e solo giocare... nella stragrande maggioranza delle ore di lezione devo seguire il programma, spiegare leggi e teoremi, fare esercizi e verifiche e tutto il resto; queste parti possono senza dubbio essere interessanti ma le parole interessante e divertente non sono sinonimi e resto convinto che per fare davvero buona scuola servano entrambe.
E allora buon divertimento a tutti! 

Il cioccolato infinito e l'equivalenza tra superfici

Oggi è il Pigreco-day e stranamente quest'anno non ho pensato a niente di particolare da proporre a scuola... Sento allora il dovere morale di scrivere almeno un post matematico e questa è l'occasione giusta per sistemare e pubblicare un articoletto che ho iniziato tempo fa ma che non sono mai riuscito a finire. Ok, non c'entra moltissimo col Pigreco ma ci accontentiamo..

In una delle mie classi nelle ore di geometria si stava parlando di equivalenza tra superfici, un argomento non troppo difficile ma fondamentale per poter capire teoremi del calibro di Pitagora e di Euclide e che quindi non va preso sottogamba.

Uno dei primi concetti che si imparano è quello di equiscomponibilità: per farla breve se due superfici sono scomponibili in parti con la stessa area allora avranno la stessa area. Niente di che, è lo stesso concetto alla base dei giochini tipo tangram in cui un quadrato viene diviso in parti e queste parti vengono poi ricombinate per formare figure diverse che avranno però necessariamente la stessa area del quadrato iniziale.

Parlando di questi argomenti mi è venuto in mente un video che avevo visto girare in rete in cui si mostra come creare dal nulla un pezzo di cioccolato. Lo conoscete? In pratica si prende una tavoletta di cioccolato da 24 quadretti (6x4), la si taglia in un certo modo e si cambia la posizione delle parti ricomponendo un rettangolo uguale a prima ma in cui come per magia avanza un quadrettino. Eccolo qui:

Incredibile vero? Cioccolato a volontà per tutti!

Evidentemente, come in tutti i giochi di prestigio, il trucco da qualche parte c'è e per trovarlo si può ricorrere appunto alla geometria ed è proprio quello che ho fatto fare ai miei studenti.

Il principio di equiscomponibilità ci assicura che la figura finale non può essere identica a quella iniziale perchè manca quel piccolo quadrettino. Questo significa che la tavoletta ricostruita deve essere più piccola di quella originale, esattamente un quadratino in meno. Ma dov'è questo buco e perchè non si vede?

Come sempre mi sono appoggiato al fido geogebra con cui abbiamo riprodotto in classe il disegno della tavoletta di cioccolato.

Questo è quello che abbiamo ottenuto e qui la differenza tra le due figure è evidente!

La cosa interessante che si nota in questo disegno è che il famoso quadrettino mancante (indicato con D) deve essere equivalente alla striscia che si trova in alto e colorata in azzurro nel rettangolo di destra! Nel video non si notava perchè la tavoletta di cioccolato è un oggetto reale, non ideale e pertanto i bordi dei tagli non sono mai precisissimi. Inoltre la striscetta mancante è sottile rispetto al totale (è alta solo un quarto di quadrettino) e a occhio non si vede.

Ecco risolto l'arcano, bastava fare il disegno con precisione per scoprirlo: l'equiscomponibilità non lascia scampo!

Peccato, niente cioccolato infinito ma come mi hanno fatto notare i ragazzi questo può essere un buon modo per rubare un quadretto di cioccolato senza farsi scoprire!

Al termine della lezione abbiamo visto in classe anche questo video che spiega bene tutto questo procedimento:

Chiudo con una piccola riflessione: con questa lezione (e questo post) ho contribuito a svelare il trucco di un gioco di prestigio ma sono convinto che questo non ne tolga il fascino. E' un po' come sapere come si forma un arcobaleno o cosa sono davvero le stelle: se non se ne sa nulla si apre il campo alla poesia ma se invece se ne conoscono i dettagli il loro fascino trova una motivazione senza venirne sminuito. E resta comunque spazio per la poesia.
Saperne di più su qualcosa può solo portare beneficio. 
In tutti i sensi.

Buon Pigreco-day a tutti!

Osservare onde gravitazionali: fatto!

Avete sentito la notizia? Che domande, certo che l'avete sentita! E' passata persino sui tg nazionali e prima ancora i vari social erano stati invasi da condivisioni a link di articoli, video e immagini sulla scoperta. Se invece non sapete di cosa sto parlando probabilmente significa che è giunto il momento di alzare un po' il livello dei vostri contatti su facebook & co... Nel frattempo, sia che apparteniate al primo gruppo o al secondo, cerco di spiegare un po' cos'è successo.

L'11 febbraio è stata annunciata l'osservazione, per la prima volta in modo diretto, di onde gravitazionali! Ma di cosa si tratta? Come hanno fatto? E perchè è importante?

Andiamo con ordine e iniziamo a parlare di gravità.

Come forse saprete la gravità è quella forza che fa cadere a terra tutti gli oggetti, che tiene la luna in orbita intorno alla Terra, la Terra intorno al Sole, il Sole intorno alla Via Lattea e così via... Il primo ad aver elaborato una spiegazione scientifica a questo fenomeno è stato Isaac Newton e tempo fa ho spiegato la sua intuizione qui.

Un paio di secoli dopo il grande Albert Einstein completava, rivoluzionandolo, il modello di Newton con la sua celebre Teoria della Relatività Generale. Per farla breve Einstein ha teorizzato che la gravità non sia in realtà una forza come noi la intendiamo ma semplicemente l'effetto di una deformazione dello spazio-tempo. Per capire questa frase bisogna immaginare che lo spazio tridimensionale in cui viviamo si comporti come un enorme tappeto elastico (ok, un tappeto di dimensioni ne ha solo due ma se vi fidate del fatto che l'analogia funziona sarà tutto più facile). Se mettiamo una palla da bowling su un tappeto elastico questo si deforma e farà in modo che altri oggetti appoggiati su di esso si muovano verso la palla da bowling. Non c'è una strana forza che li attira verso la palla, si muovono così perchè il tappeto si è deformato. Allo stesso modo qualunque oggetto dotato di massa deforma lo spazio in cui si trova ed ecco che i corpi più leggeri si sentono attratti da uno più pesante. Naturalmente più grande è la massa più grande è l'effetto. Il Sole allora deformerà lo spazio-tempo più della Terra mentre un buco nero (per fare un esempio) lo deformerà più del Sole.

Esempi di deformazione dello spazio-tempo per effetto della gravità. Fonte: astronomia.com

Immaginate ora cosa può accadere se una di queste masse si muove e in particolare se si muove accelerando. Se Einstein aveva ragione la deformazione prodotta si propagherà producendo delle increspature del tutto analoghe alle ondine in uno stagno. Queste increspature si chiamano onde gravitazionali.

Se ci pensate un attimo vi accorgerete che questo fenomeno è molto simile a ciò che accade quando viene emessa un'onda elettromagnetica: stavolta è una particella carica (ad esempio un elettrone in un'antenna) che si muove emettendo onde a varia frequenza che non sono altro che perturbazioni del campo elettromagnetico. La grande differenza è che sulle onde elettromagnetiche sappiamo praticamente tutto perchè le studiamo almeno da quando Marconi ha inventato la radio, le loro cugine gravitazionali invece sono sempre state un mistero perchè nessuno le aveva mai osservate. Nessuno fino allo scorso settembre.

Uno dei due osservatori LIGO. Fonte: nature.com

IL 14 settembre 2015 infatti i due rivelatori statunitensi chiamati LIGO (Laser Interferometer Gravitational-waves Observatory) hanno registrato un segnale che nei mesi successivi è stato confermato come il passaggio di un'onda gravitazionale prodotta niente meno che da due buchi neri che ruotavano vorticosamente uno intorno all'altro fino a fondersi in un unico oggetto più grande.

Ma come ha fatto questa coppia di osservatori a riuscire dove gli altri hanno fallito?

Cominciamo col chiarire un punto: rivelare un'onda gravitazionale è molto più difficile che rivelare un' onda elettromagnetica principalmente per due motivi:

1. queste onde sono piccole e serve quindi uno strumento con una sensibilità spaventosa
2. queste onde non si muovono nello spazio come le altre ma lo perturbano; questo significa che anche gli strumenti che usiamo si deformano per effetto dell'onda! Un ipotetico righello non potrebbe misurarle perchè si deformerebbe al loro passaggio....

Se per il primo punto basta migliorare la tecnologia, per il secondo bisogna inventarne una apposita. Ci vorrebbe qualcosa in grado di misurare una lunghezza e che sia indipendente dallo spazio in cui si trova. Possibile che esista qualcosa del genere? Bè si, è la luce! La luce nel vuoto viaggia sempre alla stessa velocità in qualunque situazione e infatti è alla base del funzionamento di LIGO! Il rivelatore è costituito da due tubi di 4 km messi ad angolo retto in cui un raggio laser rimbalza avanti e indietro. Se a un certo punto si osserva che il tempo impiegato a percorrere i tubi cambia significa che lo spazio tra le due estremità è stato deformato e significa quindi che è passata un'onda gravitazionale! Geniale vero?

Ovviamente c'è tutta una serie di precauzioni per evitare i falsi allarmi ma non voglio dilungarmi troppo, se vi interessa chiedete pure.

Tutto questo è spiegato molto bene in questo breve video, vi consiglio di guardarlo!

Fonte: PHD Comics

Ma non è finita qui. Visto che LIGO é composto da due interferometri che distano circa 3000 km é stato possibile risalire, oltre che alla massa e alla distanza dei buchi neri interagenti, anche a una possibile posizione in cielo. Si è così scoperto che i due buchi neri, distanti 1,3 miliardi di anni luce, avevano una massa rispettivamente di 29 e 36 masse solari. Dopo la fusione hanno generato un unico buco nero da 62 masse solari. Le 3 masse solari che mancano sono state trasformate in energia emessa proprio sotto forma di onde gravitazionali. Subito dopo l'osservazione gli astrofisici del LIGO hanno comunicato i loro dati ad altri enti che hanno iniziato a scrutare quella finestra di cielo con altri metodi (telescopi ottici, a infrarossi, a raggi x ecc...) cercando i segni di un qualche evento compatibile con le onde gravitazionali ricevute. L'obiettivo era quello di trovare dei segnali tradizionali provenienti da quell'evento ma per ora non si è trovato nulla... Ciò che si è visto con gli occhi della gravità è rimasto invisibile a tutto il resto! 

Dopo circa 5 mesi di controlli la notizia è stata data al mondo! Se vi interessa qui trovate l'articolo scientifico della scoperta.

Eisntein quindi aveva ragione? Credo che nessuno ne dubitasse ma in scienza la ricerca di prove definitive non è facoltativa.

Quel che è certo è che adesso si apre un capitolo nuovo: visto che queste onde ci sono e sono osservabili si cercherà di misurarle sempre meglio così da aprire un nuovo canale di osservazione del cosmo. In particolare questo sembra essere l'unico canale per osservare direttamente i buchi neri che, in quanto neri sono invisibili e interagiscono con tutto il resto solo attraverso la gravità. Un'altra conferma importante è il fatto che anche la gravità, come le altre forze, non si propaga istantaneamente ma è vincolata a una certa velocità. Si pensa che anche in questo caso la velocità sia quella della luce ma sarà da verificare.

Di interferometri come LIGO ne esistono altri e uno lo abbiamo noi qui in Italia: si chiama VIRGO e al momento è spento perchè in fase di upgrade (proprio come le difese di clash of clans che non sparano mentre sono in miglioramento) ma ha dato comunque il suo contributo alla scoperta condividendo con LIGO il software per l'analisi dati.
Uno dei prossimi passi sarà quello di utilizzare satelliti per queste osservazioni seguendo la rotta già iniziata dalla missione europea LISA Pathfinder