venerdì 10 novembre 2017

Viva l'isocronismo del pendolo!

Il parco giochi é sempre fonte di grande ispirazione.
In attesa di realizzare un video mentre sperimento le forze di coriolis sulla “giostrina che gira” (e prima o poi lo farò) mi sono trovato recentemente a sfruttare un po' di fisica classica per semplificarmi la vita sul gestire due bambini su altrettante altalene e a immortalare in tutto. Chi non si é mai trovato davanti al problema di dover accontentare due bimbi che contemporaneamente chiedono di essere spinti sull’altalena? Mantenendo il giusto ottimismo sul fatto che prima o poi impareranno a spingersi da soli, ecco qui qualche consiglio per la sopravvivenza al parco giochi!

La fisica che ci viene in aiuto in queste situazioni è abbastanza semplice ma se si vuole approfondire si possono fare ragionamenti interessanti. Se non ti interessa scorri pure più giù fino al video, altrimenti (e spero valga per tutti!) mettiti comodo/a e guarda cosa sto per raccontarti.

Per prima cosa, anche se forse uno non ci ha mai fatto caso, un’altalena non é altro che un pendolo. Questo significa che non ci sono grandi differenze concettuali tra questo gioco, Indiana Jones che si appende alla sua frusta, quelle grosse macchine che usano una pesante palla per demolire edifici e altro. In tutti questi casi infatti c’é sempre un oggetto appeso a un filo che oscilla avanti e indietro.
Un pendolo sempllice. Fonte: Lab2go
Sul comportamento del pendolo semplice sappiamo praticamente tutto e in particolare, sappiamo che il suo Periodo, cioè il tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa (andata e ritorno), si può calcolare con una formuletta semplice semplice:
In questa formula T è il periodo misurato in secondi, l la lunghezza del pendolo (dal perno fino al baricentro della massa appesa) e g l'accelerazione di gravità. In caso ci fosse bisogno di specificarlo,  è il pi greco.
Per esempio allora, quanto vale il periodo di un pendolo lungo 1 metro? Facile, 2 secondi! E se il pendolo fosse lungo 2 metri? Semplice, 2,84 secondi!
Ma... un momento! Significa che la massa appesa al filo non è importante? Che a parità di lunghezza totale un elefante e un topolino oscillerebbero con lo stesso periodo?

Esattamente. Teniamolo a mente per dopo perchè questo aspetto sarà molto utile al parco giochi.

Un osservatore attento avrà forse notato che in quella formuletta semplice semplice manca anche un'altra cosa che intuitivamente dovrebbe influenzare la durata dell'oscillazione. Sto parlando dell'angolo tra il filo e la verticale: possibile che il periodo non dipenda da quanto ampiamente il pendolo oscilli?!?
Quasi esattamente.
In effetti in questo caso la formuletta semplice semplice è un'approssimazione ma come vedremo ora, si tratta di un'ottima approssimazione.
A voler essere precisi infatti la formula giusta per il periodo del pendolo è più lunga... molto più lunga... addirittura infinita! 

Fonte: matematicamente.it
Ma se la formula è così complicata, perchè tutti imparano la versione semplice come se fosse quella giusta? La risposta sta nel fatto che tutti i termini che compaiono dopo quel "1+" nella parentesi quadra sono via via sempre più piccoli e e anche il primo, quello con (1/2) al quadrato, è davvero insignificante quando l'angolo (indicato con θ) è sufficientemente piccolo. Volendo fare qualche conticino, limitandoci al secondo termine della serie, potremmo riconsiderare il pendolo lungo 2 metri e notare che:

con un angolo di 5° il periodo è di 2,84 s
con un angolo di 10° il periodo è di 2,85 s
con un angolo di 20° il periodo è di 2,88 s
con un angolo di 30° il periodo è di 2,93 s
con un angolo di 45° il periodo è di 3,01 s

Ecco allora che la differenza di periodo tra un angolo di 5 gradi e uno di 10 gradi è circa dello 0,3%, tra 5 e 20 gradi è circa del 1,4%  e così via. Questo significa che anche se i periodi non sono proprio uguali, è corretto affermare che per piccole oscillazioni il pendolo ha un periodo costante. Se poi il sistema che stiamo studiando non necessita di grande precisione (e un'altalena in un parco giochi rientra in questa categoria) allora siamo liberi di fare finta che il periodo sia effettivamente indipendente dall'angolo di oscillazione e di utilizzare senza remore la formuletta semplice semplice.
Questo bellissimo comportamento si chiama isocronismo del pendolo.

Storicamente, il primo ad averlo notato è stato Galileo: si dice che se ne sia accorto osservando un lampadario mentre sia annoiava durante una funzione religiosa... 

Finalmente torniamo al parco giochi di cui parlavo all'inizio!
Visto che l'altalena è di fatto un pendolo, visto che il suo periodo di oscillazione non dipende dalla massa appesa e visto che il periodo, in buona approssimazione, non dipende dall'angolo di oscillazione, posso fare in modo che spingere contemporaneamente due bambini su due altalene non sia un problema!
Basta farli partire con uno sfasamento di mezzo periodo e il gioco è fatto! Ogni spinta servirà a compensare le forze di attrito e con un po' di attenzione si riuscirà a manetere regolare il movimento.
Una volta capito il meccanismo ci si può sbizzarrire: io ad esempio ho provato a spingere le altalene di spalle oppure spingerne una con le mani e l'altra coi piedi, perchè no?

 

Ormai uso questo trucchetto ogni volta che mi capita e spesso noto che qualche altro genitore guarda incuriosito. Devo ancora capire se quello sguardo significa "geniale!" o più probabilmente "questo è pazzo..." ma in fondo la differenza non è molta.

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